martes, 20 de noviembre de 2012

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS


  • Simplificación:
Ejemplo: 







 


Explicación:

Factorizar y reemplazar:

Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar, y los reemplazo en la fracción:

 x2 - 4 =      con el Quinto Caso de Factoreo 
 x      2
(x + 2).(x - 2)

Entonces, reemplazo en la fracción a x2 - 4 por su equivalente: (x + 2).(x - 2).
La fracción va quedando así:



Ahora factorizo 3x - 6, con el Primer Caso de Factoreo

3x - 6 = 

3.(x - 2)

Entonces, reemplazo en la fracción a 3x - 6 por su equivalente: 3.(x - 2).
La fracción va quedando así:




Simplificar:

Así, me encuentro con que el polinomio (x - 2) está multiplicando "arriba y abajo" en la fracción ("en el numerador y en el denominador"). Entonces puedo tacharlos, cancelarlos, simplificarlos 




Como los taché, en el próximo paso no los escribo. Es decir, queda solamente lo que no taché 



Y así se simplificó todo lo que se podía en la fracción. Ese es el resultado final del ejercicio. 
Para qué valores de x vale esta simplificación:

Como ya lo expliqué los conceptos generales, la mayoría de las veces la simplificación no vale para todos los valores de x. Sólo vale para aquellos valores de x para los cuales el o los polinomios que simplifiqué no tomen el valor cero. Y algunos profesores pueden pedir que lo aclaremos. En este ejercicio simplifiqué solamente el polinomio (x - 2), entonces hago lo siguiente:

x - 2 = 0
x = 0 + 2
x = 2

Eso significa que el polinomio que simplifiqué (x - 2), toma el valor cero cuando x = 2. Porque (2 - 2) = 0. Entonces, la simplificación vale solamente para todo x desigual a 2.




  • MULTIPLICACIÓN:
Ejemplo:






          1                   1





2.(x + 1)

Explicación

Factorizar y reemplazar:

Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar, y los reemplazo en la fracción que corresponda:

Factorizo:

 x2 - 1 =      con el Quinto Caso de Factoreo
 x    
  1

(x + 1).(x - 1)

Entonces, reemplazo en la primera fracción a (x2 - 1) por su equivalente:
(x + 1).(x - 1). El ejercicio ahora me queda así:



Factorizo:

2x - 10 =     con el Primer Caso de Factoreo 

2.(x - 5)

Entonces, reemplazo en la segunda fracción a (2x - 10) por su equivalente:
2.(x - 5). El ejercicio ahora me queda así:




Simplificar:

Así, me encuentro con que el polinomio (x - 5) está "repetido": aparece en el denominador "abajo" de la primera fracción, y en el numerador "arriba" de la segunda fracción. También está repetido el polinomio (x - 1): aparece en el numerador de la primera fracción, y en el denominador de la segunda. Entonces puedo simplificarlos, ya que en la multiplicación de fracciones se simplifica de esa manera: "uno de arriba con uno de abajo". 

 
          1                  1

En la primera fracción se me hace necesario poner el "1" que queda cuando se simplifica, porque no quedó nada más en el denominador de esa fracción, y algo hay que poner para saber luego qué es lo que estamos multiplicando. En la segunda fracción me pasa lo mismo en el denominador 

Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:

x - 5 ≠ 0
x ≠ 5            
x - 1 ≠ 0
x ≠ 1

Multiplicar:

Luego de simpilficar, las dos fracciones quedaron así:

      

Ahora multiplico lo que quedó: "lo de arriba con lo de arriba y lo de abajo con lo de abajo". El resultado es una fracción formada por ambos resultados:

    

El resultado de la multiplicación es: 

    

2.(x + 1) 



  • DIVISIÓN:
Ejemplo: 

 



 


         1                   1



3.(x - 2)

Explicación:

Transformar la división en una multiplicación, invirtiendo la segunda fracción:





Cambié el signo de división por el de multiplicación, la segunda fracción.Porque, dividir por una fracción, es equivalente a multiplicar por la fracción inversa


Factorizar y reemplazar: Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay que saber aplicar los, y los reemplazo en la fracción que corresponda:

 x2 - 4 =      con el Quinto Caso de Factoreo
 x      2

(x + 2).(x - 2)


3x - 15 =     con el Primer Caso de Factoreo
3.(x - 5)

Y luego de factorizar todo lo posible, reemplazo en las fracciones a los polinomios que estaban sin factorizar por sus equivalentes factorizados. Queda así:

 


Simplificar:

Como ahora la operación es una multiplicación, puedo simplicar como se hace en las multiplicaciones. Aquí, el polinomio (x + 2) está "repetido": aparece en el numerador de la primera fracción, y en el denominador de la segunda. Y el polinomio (x - 5) también está repetido: aparece en el denominador de la primera fracción, y en el numerador de la segunda. Entonces puedo simplificarlos, ya que en la multiplicación de fracciones se simplifica de esa manera: "uno de arriba con uno de abajo". 


         1                   1

En los denominadores de ambas fracciones se me hace necesario poner el "1" que queda cuando se simplifica, porque no quedó nada más en los denominadores de esas fracciones, y algo hay que poner para saber luego qué es lo que estamos multiplicando. 

Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:

x + 2 ≠ 0
x ≠ -2           

x - 5 ≠ 0
x ≠ 5
Multiplicar:

Luego de simpilficar, las dos fracciones quedaron así:

             

Ahora multiplico lo que quedó: "lo de arriba con lo de arriba y lo de abajo con lo de abajo". El resultado es una fracción formada por ambos resultados:

              

=        

3.(x - 2)



  • SUMA Y RESTAS


Ejemplo:

 



 

 

 

  3


El denominador: Al igual que en la suma de fracciones numéricas, si los dos denominadores son iguales, el denominador común es ese denominador, y en el numerador se hace la suma de los numeradores. Por ejemplo:

   

Ahora hacemos lo mismo con las fracciones polinómicas:

    

Sumar los numeradores: Los paréntesis los puse para que se vea cada numerador y resaltar el hecho de que los estoy sumando. Pero en esa suma no son necesarios los paréntesis, y pueden no ponerse. En el siguiente paso los quito:

         


Ahora tengo que sumar entre sí los términos de igual grado, es decir: las x con las x, y los números "sueltos" entre ellos. Porque recordemos que así se suman los polinomios. Y esto es una suma de dos polinomios: (x + 3) más (2x + 3). Si prefieren pueden hacer la suma poniéndolos en columnas, como cuando aprendieron el tema "operaciones con polinomios". Yo lo voy a hacer "juntando" los términos de igual grado, como también habrán hecho alguna vez en las ecuaciones:

x + 2x = 3x          

3 + 3 = 6

En el numerador entonces queda: 3x + 6




Si se puede, aplicar algún Caso de Factoreo en el numerador: 


3x + 6 = 3.(x + 2)        

Luego, reemplazo el numerador por su equivalente factorizado:




Simplificar si se puede: Así, me encuentro con que quedó el polinomio (x + 2) arriba y abajo. Lo puedo simplificar, como ya se vió en el tema: de Expresiones Algebraicas Racionales.



(Si les interesa, en la parte de conceptos se puede ver una comparación de esta situación con lo que pasa en las fracciones numéricas
 cuando se pueden simplificar: Ver aquí)

El resultado es entonces lo que no quedó tachado:

3                


Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:

x + 2 ≠ 0
x ≠ -2   




CASOS COMBINADOS DE FACORIZACIÓN

CASOS COMBINADOS DE FACTORIZACIÓN


  • Ejemplo 1
x4 - 81 =
x2     9

(x2 + 9).(x2 - 9) =
                 x     3
(x2 + 9).(x + 3).(x - 3)


Explicación:

x4 - 81 es una diferencia de dos cuadrados: x4 es el cuadrado de x2 y 81 es el cuadrado de 9. Ya que (x2)2 = x4 y 92 = 81. Entonces las bases son x29. Aplico el Caso, y queda así factorizado el polinomio: 

(x2 + 9).(x2 - 9)       

Pero x2 - 9 también es una diferencia de cuadrados: x2 es cuadrado de x, y 9 es cuadrado de 3. Entonces se puede factorizar esa parte. Las bases son: x y 3. x2 - 9 es igual a (x + 3).(x - 3). Entonces reemplazo y el polinomio queda así factorizado:

(x2 + 9).(x + 3).(x - 3)     

x2 + 9 no se puede factorizar, porque es una suma de potencias pares que no son múltiplo de un número impar. Entonces, no se puede hacer más nada.


  • Ejemplo 2
30a4x - 15a3xz - 10a3y + 5a2yz =

5a2.(6a2x - 3axz - 2ay + yz) =

5a2.[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =

5a2.[3ax(2a - z) - y.(2a - z)] =

5a2.(2a - z).(3ax - y)


Explicación:

Primero saco factor común "5a2":

5a2.(6a2x - 3axz - 2ay + yz) =

Luego, dentro del paréntesis se puede agrupar para sacar factor común en grupos. Agrupo el primero con el segundo, y tercero con cuarto: 

5a2.[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =

Como al aplicar el Segundo Caso debo usar los paréntesis, tuve que usar corchetes en el lugar que antes estaban los paréntesis. Mientras haya más de un término en el polinomio que estoy factorizando, debo mantenerlo encerrado, porque está multiplicando a 5a2.

5a2.[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =

5a2.[3ax(2a - z) - y.(2a - z)] =   

5a2.(2a - z).(3ax - y)





TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO

Trinomio de Segundo Grado" (o "Séptimo Caso")

1/3 x2 - 1/3 x + 1/12 = 1/3. (x - 1/2).(x - 1/2) = 1/3. (x - 1/2)2

Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", obtengo un sólo resultado. Es que en realidad el Trinomio es "cuadrado perfecto", y podría factorizarse por el Tercer Caso, pero aplicando primero el caso Factor Común (en este ejemplo en particular). 


Explicación:

Uso la fórmula "resolvente" de las ecuaciones cuadráticas, para encontrar los valores de x1 y x2 

x1,2 = 

Y para nuestro ejemplo a = 1/3, b = -1/3 y c = 1/12 (1/3 x2 - 1/3x + 1/12). Entonces, reemplazo en la fórmula, y me queda: 

x1,2 = 


x1 = x2 =  1/2    

Como "lo que está debajo de la raíz" me dió cero, y raíz de cero es cero, por más que sume o reste 0 obtendré el mismo resultado: 1/2. Entonces hay un solo resultado, una sola raíz para este polinomio. Se la llama "raíz doble". Y cuando sucede esto es porque el trinomio de segundo grado que queremos factorizar es en realidad un trinomio cuadrado perfecto, y hubiera sido mejor que lo factorizáramos con el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto

Luego tengo que factorizar el polinomio según la fórmula:

a.(x - x1).(x - x2)

Donde a = 1/3 es el coeficiente principal del polinomio (el número que multiplica a la x2). Y x1 y x2 son las "raíces" del polinomio de segundo grado, que hallé con la fórmula de la ecuación cuadrática. Pero en este ejemplo en particular, x1 y x2 resultaron ser iguales a 1/2. Así tengo que reemplazar en esa fórmula a "a", x1 y x2 con los valores que encontré:

1/3.(x - 1/2).(x - 1/2) =

a             x1            x2 

Pero como quedaron dos (x - 1/2) multiplicándose, puedo poner en lugar de ambos: (x - 1/2)2 que es lo mismo que (x - 1/2).(x - 1/2). Entonces, la factorización se puede escribir también así:

1/3.(x - 1/2)2



SUMA O RESTAS DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

Sumas o Restas de Potencias de Igual Grado (o "Sexto Caso")


  • Ejemplo 1 "Suma"


x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)

x      2


Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25. Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2). Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini. Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es:

 x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. 
Se factoriza como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir:
 "La suma de las bases multiplicada por el resultado de la división"


Explicacion:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

x5 es potencia quinta. Entonces, averiguo si 32 es también potencia quinta de algún número. Calculo la raíz quinta de 32, que es igual a 2. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 5 me dá 32?", y me doy cuenta que el número 2 cumple con eso, ya que 25 = 2.2.2.2.2 = 32


"Bajo las bases", que son x y 2. Ya que son las que, elevadas a la quinta, dan x5 y 32.


Divido el polinomio (x5 + 32) por el polinomio (x + 2). Porque en la SUMA de potencias IMPARES, debo dividir por la SUMA de las bases. Es decir: SUMA SE DIVIDE POR SUMA. 

  | 1   0   0   0   0  32
  |
  |
-2|    -2   4  -8  16 -32
    1  -2   4  -8  16 | 0 



El cociente es entonces: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. Y el resto es 0, como debe ser 

Pongo el polinomio por el que dividí: (x + 2), multiplicando al cociente de la división: (x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16). Así, queda factorizado x5 + 32:

(x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)


DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE


  • Ejemplo 2 "Resta"
x3 - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4)

x     2


x3 es potencia tercera. Entonces, averiguo si 8 es también potencia tercera de algún número. Calculo la raíz tercera de 8, que es igual a 2. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 3 me dá 8?", y me doy cuenta que el número 2 cumple con eso, ya que 23 = 2.2.2 = 8.

"Bajo las bases", que son x y 2. Ya que son las que, elevadas a la tercera, dan x3 y 8.

Divido el polinomio (x3 - 8) por el polinomio (x - 2). Porque en la RESTA de potencias IMPARES, debo dividir por la RESTA de las bases. Es decir: RESTA SE DIVIDE POR RESTA.


  | 1   0   0  -8
  |
  |
 2|     2   4   8  
    1   2   4  |0


El cociente es entonces: x2 + 2x + 4. Y el resto es 0, como debe serPongo el polinomio por el que dividí: (x - 2), multiplicando al cociente de la división: (x2 + 2x + 4). Así, queda factorizado x3 - 8:

(x - 2).( x2 + 2x + 4) 
DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE


CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

Cuatrinomio cubo perfecto ( o quinto caso)


x3 + 6x2  +  12x   +  8 = (x + 2)3

x                     2

3.x2.2 3.x.22

6x2     12x


Las bases son x y 2. Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".



Explicación:

Busco dos términos que sean "cubos" o "potencias terceras" un cubo: es x3 y 8. Porque, es evidente que x3 es "x elevado a la tercera". Y 8 es igual a "2 elevado a a la tercera", ya que 23 = 8. 
Bajo entonces las "bases", que son x y 2.

El término "6x2" no puede ser uno de los "cubos", por dos razones: El número 6 no tiene raíz cúbica exacta, y x2 no es una potencia terceraY el término "12x" no puede ser "cubo", por dos razones: El número 12 no tiene raíz cúbica exacta, y "x" no es una potencia tercera.


Determinadas ya las dos bases (x y 2), efectúo los dos "triple-productos"

3.x2.2          

(Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base: 3.a2.b)

Lo que dá como resultado: 6x2. Miro el polinomio que tenía que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (x3 + 6x2 + 12x + 8). "Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:

3.x.22

(Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al cuadrado: 3.a.b2)

Lo que dá como resultado 12x  Miro el polinomio, y veo que ese término está: es el tercer término (x3 + 6x2 + 12x + 8).

Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un "cuatrinomio cubo perfecto", porque cumple con todo lo que tiene que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los dos triple-productos".


3) El resultado de la factorización es, entonces:

(x + 2)3 

"la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".


DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Diferencia de cuadrados perfectos ( o cuarto caso )

se saca el cuadrado de ambos términos, se multiplica la suma de las raíces por la diferencia


  • Ejemplo 1


a² - b² = ( a + b )(  a - b )


  • Ejemplo 2

    49x²y⁶z¹⁰          -              a¹²


         ↓                                          ↓

√(49x²y⁶z¹⁰)                           √(a¹²)

        ↓                                          ↓

    7xy³z⁵                                     a


= ( 7xy³z⁵ + a )( 7xy³z⁵ - a )



  • CASO ESPECIAL
( a + b )² - c²

[ ( a + b ) + c  ][ ( a + b ) - c  ]

= ( a + b + c )( a + b - c )



TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Trinomio Cuadrado perfecto ( o tercer caso)


Es aquel que esta de la forma a² + bx+ b², para poder calcular el valor del pcp, sacamos la   ² del primer termino y del tercero; y el segundo termino corresponde al doble valor del resultado del primero y el tercero. Las raíces se deben separar y el signo siempre sera el del segundo termino. 
El trinomio ordenado en relación a una letra es cuadrado perfecto si el primero y el tercero son cuadrados y cada uno tiene una raíz exacta y son positivos, el segundo termino sera el doble del producto de la raíces. 

  • Ejemplo 1
4x²            - 20xy        + 25y²

↓                                       ↓

(4x²)                           (25y²)

↓                                       ↓

2x                             5y

            2.(2x).(5y)

           
= ( 2x - 5y )( 2x - 5y )


  • Ejemplo 2



      25x²              -  x²        +     1 
        36                     3               25


        ↓                                          ↓

 √(25x²/36)                           (1/25)


        ↓                                          ↓

      5x²                                       1
         6                                         5


              
                   2.(5x²/6).(1/5)
        
                 
= ( 5x²/6 - 1/5 5x²/6 - 1/5 )



  • CASO ESPECIAL

( x + y)²  - 2( x + y ) ( a + x ) + ( a + x )² 

[ ( x + y ) - ( a + x ) ]²

= ( x + y  - a - x )²

= ( y - a )² 

( a - y )²