EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

• Simplificación:

Ejemplo: 







 

Explicación:

Factorizar y reemplazar:

Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar, y los reemplazo en la fracción:

 x² - 4 =      con el Quinto Caso de Factoreo 
 x      2
(x + 2).(x - 2)

Entonces, reemplazo en la fracción a x² - 4 por su equivalente: (x + 2).(x - 2).
La fracción va quedando así:



Ahora factorizo 3x - 6, con el Primer Caso de Factoreo

3x - 6 = 

3.(x - 2)

Entonces, reemplazo en la fracción a 3x - 6 por su equivalente: 3.(x - 2).
La fracción va quedando así:




Simplificar:

Así, me encuentro con que el polinomio (x - 2) está multiplicando "arriba y abajo" en la fracción ("en el numerador y en el denominador"). Entonces puedo tacharlos, cancelarlos, simplificarlos 



Como los taché, en el próximo paso no los escribo. Es decir, queda solamente lo que no taché 



Y así se simplificó todo lo que se podía en la fracción. Ese es el resultado final del ejercicio. Para qué valores de x vale esta simplificación:

Como ya lo expliqué los conceptos generales, la mayoría de las veces la simplificación no vale para todos los valores de x. Sólo vale para aquellos valores de x para los cuales el o los polinomios que simplifiqué no tomen el valor cero. Y algunos profesores pueden pedir que lo aclaremos. En este ejercicio simplifiqué solamente el polinomio (x - 2), entonces hago lo siguiente:

x - 2 = 0
x = 0 + 2
x = 2

Eso significa que el polinomio que simplifiqué (x - 2), toma el valor cero cuando x = 2. Porque (2 - 2) = 0. Entonces, la simplificación vale solamente para todo x desigual a 2.

• MULTIPLICACIÓN:

Ejemplo:

          1                   1





2.(x + 1)

Explicación: 

Factorizar y reemplazar:

Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar, y los reemplazo en la fracción que corresponda:

Factorizo:

 x² - 1 =      con el Quinto Caso de Factoreo
 x      1

(x + 1).(x - 1)

Entonces, reemplazo en la primera fracción a (x² - 1) por su equivalente:
(x + 1).(x - 1). El ejercicio ahora me queda así:



Factorizo:

2x - 10 =     con el Primer Caso de Factoreo 

2.(x - 5)

Entonces, reemplazo en la segunda fracción a (2x - 10) por su equivalente:
2.(x - 5). El ejercicio ahora me queda así:




Simplificar:

Así, me encuentro con que el polinomio (x - 5) está "repetido": aparece en el denominador "abajo" de la primera fracción, y en el numerador "arriba" de la segunda fracción. También está repetido el polinomio (x - 1): aparece en el numerador de la primera fracción, y en el denominador de la segunda. Entonces puedo simplificarlos, ya que en la multiplicación de fracciones se simplifica de esa manera: "uno de arriba con uno de abajo". 

 
          1                  1

En la primera fracción se me hace necesario poner el "1" que queda cuando se simplifica, porque no quedó nada más en el denominador de esa fracción, y algo hay que poner para saber luego qué es lo que estamos multiplicando. En la segunda fracción me pasa lo mismo en el denominador 

Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:

x - 5 ≠ 0
x ≠ 5            
x - 1 ≠ 0
x ≠ 1

Multiplicar:

Luego de simpilficar, las dos fracciones quedaron así:

      

Ahora multiplico lo que quedó: "lo de arriba con lo de arriba y lo de abajo con lo de abajo". El resultado es una fracción formada por ambos resultados:

    

El resultado de la multiplicación es: 

    

2.(x + 1) 

• DIVISIÓN:

Ejemplo: 

 



 


         1                   1



3.(x - 2)

Explicación:

Transformar la división en una multiplicación, invirtiendo la segunda fracción:





Cambié el signo de división por el de multiplicación, la segunda fracción.Porque, dividir por una fracción, es equivalente a multiplicar por la fracción inversa


Factorizar y reemplazar: Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay que saber aplicar los, y los reemplazo en la fracción que corresponda:

 x² - 4 =      con el Quinto Caso de Factoreo
 x      2

(x + 2).(x - 2)


3x - 15 =     con el Primer Caso de Factoreo
3.(x - 5)

Y luego de factorizar todo lo posible, reemplazo en las fracciones a los polinomios que estaban sin factorizar por sus equivalentes factorizados. Queda así:

 


Simplificar:

Como ahora la operación es una multiplicación, puedo simplicar como se hace en las multiplicaciones. Aquí, el polinomio (x + 2) está "repetido": aparece en el numerador de la primera fracción, y en el denominador de la segunda. Y el polinomio (x - 5) también está repetido: aparece en el denominador de la primera fracción, y en el numerador de la segunda. Entonces puedo simplificarlos, ya que en la multiplicación de fracciones se simplifica de esa manera: "uno de arriba con uno de abajo". 

         1                   1

En los denominadores de ambas fracciones se me hace necesario poner el "1" que queda cuando se simplifica, porque no quedó nada más en los denominadores de esas fracciones, y algo hay que poner para saber luego qué es lo que estamos multiplicando. 

Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:

x + 2 ≠ 0
x ≠ -2           

x - 5 ≠ 0
x ≠ 5Multiplicar:

Luego de simpilficar, las dos fracciones quedaron así:

             

Ahora multiplico lo que quedó: "lo de arriba con lo de arriba y lo de abajo con lo de abajo". El resultado es una fracción formada por ambos resultados:

              

=        

3.(x - 2)

• SUMA Y RESTAS

Ejemplo:

 



 

 

 

  3

El denominador: Al igual que en la suma de fracciones numéricas, si los dos denominadores son iguales, el denominador común es ese denominador, y en el numerador se hace la suma de los numeradores. Por ejemplo:

   

Ahora hacemos lo mismo con las fracciones polinómicas:

    

Sumar los numeradores: Los paréntesis los puse para que se vea cada numerador y resaltar el hecho de que los estoy sumando. Pero en esa suma no son necesarios los paréntesis, y pueden no ponerse. En el siguiente paso los quito:

         

Ahora tengo que sumar entre sí los términos de igual grado, es decir: las x con las x, y los números "sueltos" entre ellos. Porque recordemos que así se suman los polinomios. Y esto es una suma de dos polinomios: (x + 3) más (2x + 3). Si prefieren pueden hacer la suma poniéndolos en columnas, como cuando aprendieron el tema "operaciones con polinomios". Yo lo voy a hacer "juntando" los términos de igual grado, como también habrán hecho alguna vez en las ecuaciones:

x + 2x = 3x          

3 + 3 = 6

En el numerador entonces queda: 3x + 6




Si se puede, aplicar algún Caso de Factoreo en el numerador: 

3x + 6 = 3.(x + 2)        

Luego, reemplazo el numerador por su equivalente factorizado:




Simplificar si se puede: Así, me encuentro con que quedó el polinomio (x + 2) arriba y abajo. Lo puedo simplificar, como ya se vió en el tema: de Expresiones Algebraicas Racionales.



(Si les interesa, en la parte de conceptos se puede ver una comparación de esta situación con lo que pasa en las fracciones numéricas cuando se pueden simplificar: Ver aquí)

El resultado es entonces lo que no quedó tachado:

3                

Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:

x + 2 ≠ 0
x ≠ -2