FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

Factor común por agrupación de términos ( o segundo caso ).

• Ejemplo 1

ax + bx + ay + by 

= x( a + b ) + y( a+b )

= ( a + b )( x + y )

Explicación:

Agrupamos los termino  " ax + bx "  ya que hay factor común "x" entre ellos; Y, por otro lado, agrupo los tres últimos términos " ay + by " ya que hay factor común "y" entre ellos. 

Al sacar factor común "x" en los dos primeros términos, queda:

x( a + b )

Al sacar factor común "y" en los otros dos términos, queda:

y( a+b )

Tenemos entonces:

x( a + b ) + y( a+b )

Los resultados de sacar factor común son iguales ( a + b ). No queda más que sacar ( a + b ) como factor común.

( a + b )( x + y )

• Ejemplo 2

4a³x - 4a²b + 3bm - 3amx

4a³x - 4a²b - 3amx + 3bm

4a² ( ax - b ) - 3m ( ax + b )

( ax - b )( 4a² - 3m )


Explicacion:

Agrupo "4a³x" con  "- 4a²b" ya que entre ellos hay factor común "4a²" y, por otro lado "- 3amx"  con "3bm" ya que hay factor común "3m" entre ellos.
Al sacar factor común "4a²" en los primeros dos términos, queda "4a² ( ax - b )"
Al sacar factor común "3m" en los dos últimos términos, queda  "- 3m ( ax + b )"

Los resultados de sacar factor común no son idénticos. Pero, las letras son las mismas ( "ax" y "b" ), sólo que están en otro orden y con los signos "invertidos" u opuestos,. Veamos:

En ( ax - b ), la "ax" es "positiva" y la "b" es negativa. 
En ( ax + b ), la "ax" es "positiva" y la "b" es positiva.

Cuando se dá una situación así, se puede sacar factor común negativo (en vez de positivo como es costumbre) en alguno de los dos grupos, y entonces sí quedarán los dos resultados iguales (aunque desordenados en este paso). Pero si no quieren pensar en "sacar factor común negativo", lo pueden hacer pensando así: "Saco el menos afuera y cambio los signos". Se puede hacer en cualquiera de los dos términos, pero aquí lo hago para el segundo:
4a² ( ax - b ) - 3m ( ax + b )

Como se puede ver, en donde antes iba el +, ahora pongo un -. Y a "ax" y "b" les cambio el signo. Eso es "sacar el menos afuera", y es lo mismo que "sacar factor común x negativo", Ése es el "arreglo" que hay que hacer cuando en los resultados aparecen los mismos dos términos (ax y b en este caso), pero con los signos "invertidos".

4a² ( ax - b ) - 3m ( ax - b ) = ( ax - b )( 4a² - 3m )