SUMA O RESTAS DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

Sumas o Restas de Potencias de Igual Grado (o "Sexto Caso")

• Ejemplo 1 "Suma"

x⁵ + 32 = (x + 2).(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)

x      2

Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 2⁵. Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2). Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini. Divido (x⁵ + 32):(x + 2), y el resultado de la división es:

 x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16. El resto dá 0. 
Se factoriza como (x + 2).(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16), es decir:
 "La suma de las bases multiplicada por el resultado de la división"

Explicacion:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

x⁵ es potencia quinta. Entonces, averiguo si 32 es también potencia quinta de algún número. Calculo la raíz quinta de 32, que es igual a 2. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 5 me dá 32?", y me doy cuenta que el número 2 cumple con eso, ya que 2⁵ = 2.2.2.2.2 = 32


"Bajo las bases", que son x y 2. Ya que son las que, elevadas a la quinta, dan x⁵ y 32.

Divido el polinomio (x⁵ + 32) por el polinomio (x + 2). Porque en la SUMA de potencias IMPARES, debo dividir por la SUMA de las bases. Es decir: SUMA SE DIVIDE POR SUMA. 

  | 1   0   0   0   0  32
  |
  |
-2|    -2   4  -8  16 -32
    1  -2   4  -8  16 | 0 


El cociente es entonces: x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16. Y el resto es 0, como debe ser 

Pongo el polinomio por el que dividí: (x + 2), multiplicando al cociente de la división: (x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16). Así, queda factorizado x⁵ + 32:

(x + 2).(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)

DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE

• Ejemplo 2 "Resta"

x³ - 8 = (x - 2).(x² + 2x + 4)

x     2

x³ es potencia tercera. Entonces, averiguo si 8 es también potencia tercera de algún número. Calculo la raíz tercera de 8, que es igual a 2. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 3 me dá 8?", y me doy cuenta que el número 2 cumple con eso, ya que 2³ = 2.2.2 = 8.

"Bajo las bases", que son x y 2. Ya que son las que, elevadas a la tercera, dan x³ y 8.

Divido el polinomio (x³ - 8) por el polinomio (x - 2). Porque en la RESTA de potencias IMPARES, debo dividir por la RESTA de las bases. Es decir: RESTA SE DIVIDE POR RESTA.

  | 1   0   0  -8
  |
  |
 2|     2   4   8  
    1   2   4  |0

El cociente es entonces: x² + 2x + 4. Y el resto es 0, como debe serPongo el polinomio por el que dividí: (x - 2), multiplicando al cociente de la división: (x² + 2x + 4). Así, queda factorizado x³ - 8:

(x - 2).( x² + 2x + 4) 
DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE