FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

Factor común por agrupación de términos ( o segundo caso ).

• Ejemplo 1

ax + bx + ay + by 

= x( a + b ) + y( a+b )

= ( a + b )( x + y )

Explicación:

Agrupamos los termino  " ax + bx "  ya que hay factor común "x" entre ellos; Y, por otro lado, agrupo los tres últimos términos " ay + by " ya que hay factor común "y" entre ellos. 

Al sacar factor común "x" en los dos primeros términos, queda:

x( a + b )

Al sacar factor común "y" en los otros dos términos, queda:

y( a+b )

Tenemos entonces:

x( a + b ) + y( a+b )

Los resultados de sacar factor común son iguales ( a + b ). No queda más que sacar ( a + b ) como factor común.

( a + b )( x + y )

• Ejemplo 2

4a³x - 4a²b + 3bm - 3amx

4a³x - 4a²b - 3amx + 3bm

4a² ( ax - b ) - 3m ( ax + b )

( ax - b )( 4a² - 3m )


Explicacion:

Agrupo "4a³x" con  "- 4a²b" ya que entre ellos hay factor común "4a²" y, por otro lado "- 3amx"  con "3bm" ya que hay factor común "3m" entre ellos.
Al sacar factor común "4a²" en los primeros dos términos, queda "4a² ( ax - b )"
Al sacar factor común "3m" en los dos últimos términos, queda  "- 3m ( ax + b )"

Los resultados de sacar factor común no son idénticos. Pero, las letras son las mismas ( "ax" y "b" ), sólo que están en otro orden y con los signos "invertidos" u opuestos,. Veamos:

En ( ax - b ), la "ax" es "positiva" y la "b" es negativa. 
En ( ax + b ), la "ax" es "positiva" y la "b" es positiva.

Cuando se dá una situación así, se puede sacar factor común negativo (en vez de positivo como es costumbre) en alguno de los dos grupos, y entonces sí quedarán los dos resultados iguales (aunque desordenados en este paso). Pero si no quieren pensar en "sacar factor común negativo", lo pueden hacer pensando así: "Saco el menos afuera y cambio los signos". Se puede hacer en cualquiera de los dos términos, pero aquí lo hago para el segundo:
4a² ( ax - b ) - 3m ( ax + b )

Como se puede ver, en donde antes iba el +, ahora pongo un -. Y a "ax" y "b" les cambio el signo. Eso es "sacar el menos afuera", y es lo mismo que "sacar factor común x negativo", Ése es el "arreglo" que hay que hacer cuando en los resultados aparecen los mismos dos términos (ax y b en este caso), pero con los signos "invertidos".

4a² ( ax - b ) - 3m ( ax - b ) = ( ax - b )( 4a² - 3m )

FACTOR COMÚN.

Factor Común. 'o primer caso' 

Ejemplo 1

5m² + 15m² = 5m.(m + 3m)

Explicación:

"Saco" el número 5 multiplicando a un paréntesis 

¿por qué el 5? Porque si miramos bien los términos nos damos cuenta que el  numero 5 es divisor de los términos que tenemos en el polinomio. A eso se le dice "sacar factor común 5". Luego divido a cada término por el número 5m, y voy poniendo todos los resultados dentro del paréntesis, sumando o restando según el signo que resulte de la división. Así:

Primer termino

5m² : 5m = m

Segundo termino

15m² : 5m = 3m

De esa manera obtuve cada uno de los términos que puse dentro del paréntesis. Sacar factor común 5m significa "dividir a todos los términos por 5m".  

Ejemplos 2

• 100a²b³c - 150ab²c² + 50ab³c³ - 2000abc² = 50abc (2ab² - 3bc + b²c² - 4c)

EXPLICACIÓN:


Saco factor común 50abc. Porque las letras están en todos los términos. Y las estoy sacando con el menor exponente con que aparecen en el polinomio (exponente 1), Luego, divido cada término por 50abc: 

Primer término:

100a²b³c : 50abc =  2ab²

Segundo término:

- 150ab²c² : 50abc = - 3bc

Tercer término:

50ab³c³ : 50abc = b²c²

Cuarto término:

 - 2000abc² : 50abc = 4c

De esa manera obtuve cada uno de los términos que puse dentro del paréntesis. Sacar factor común 50abc significa "dividir a todos los términos por 50abc".

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN

Lista de casos de factorización 

1. Factor común
2. Factor común por agrupación de términos
3. Trinomio cuadrado perfecto
4. Diferencia de cuadrados perfectos
5. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 
6. Trinomio de la forma x² + bx + c
7. Trinomio de la forma ax² + bx + c
8. Cubo perfecto de binomios 
9. Suma o diferencia de cubos perfectos
10. Suma o diferencia de dos potencias iguales

Conceptos Generales

• ¿Qué es factorizar o factorear un polinomio?

Es la descomposición de una expresión matemática en forma de                 multiplicación, el objetivo es simplificar una expresión en términos que    reciben el nombre de factores por ejemplo: ²

• ¿Para qué sirve factorizar un polinomio?

Por ejemplo, tener factorizada la fórmula de una función polinómica sirve para encontrar o visualizar los "ceros" o "raíces". Y eso es algo de gran utilidad en varios temas: para analizar la positividad y negatividad de la función, o para encontrar los máximos y/o mínimos. También la factorización de polinomios se puede utilizar para: resolver inecuaciones de grado 2 o mayor, hallar algunos límites, resolver ecuaciones polinómicas fraccionarias, identidades y ecuaciones trigonométricas, etc. Es decir que nos enseñan a factorizar porque en otros temas de Matemática necesitaremos factorizar polinomios para trabajar con multiplicaciones en vez de sumas y restas.

• ¿Cómo puedo saber si factoricé correctamente?

En cualquiera de los diez casos, la prueba consiste en multiplicar los factores que se obtienen, y su producto tiene que ser igual a la expresión que se factoró. 

Ejemplo 

²      

• ¿Qué es "factor" y por qué "común"?
  
  "Factores" se les llaman a los números que están multiplicando. Por ejemplo, en la multiplicación 4.2 = 8  los "factores" son el 4 y el 2.
  
  Y por "común" quiere decir que lo tienen todos los términos. Es algo "común" a todos.
  
  Por ejemplo, en 4.a + 4.b + 4.c, está el factor común "4". Porque en todos los términos está multiplicando el número 4.

• ¿Qué es un "monomio"?

Podríamos decir que es un "polinomio de un solo término" ("mono" = uno).  Ejemplos de monomios:

2x³
-3x

• Regla de los signos para la multiplicación y la división:

" más por más = más "
" menos por menos = más "
" más por menos = menos "
" menos por más = menos "

Para recordarla podemos pensar así: "Cuando los dos signos son iguales, dá positivo. Cuando los dos signos son diferentes entre sí, dá negativo."

• Bibliografia:

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/factorc/pricaso.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/iggrado/sxtocaso.htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraFactorizacion.htm